Trigonometrik fonksiyonlar arasındaki ilişkiler nelerdir?

Temel Trigonometrik Fonksiyonlar ve Tanımları

Trigonometrik fonksiyonlar, bir açının veya yayın trigonometrik oranlarını ifade eden matematiksel fonksiyonlardır. Temel trigonometrik fonksiyonlar şunlardır:

• Sinüs (sin)
• Kosinüs (cos)
• Tanjan (tan)
• Kotanjant (cot)
• Sekant (sec)
• Kosekant (csc)

Bir dik üçgende, dar bir açı (θ) için:

• sinθ = karşı dik kenar / hipotenüs
• cosθ = komşu dik kenar / hipotenüs
• tanθ = karşı dik kenar / komşu dik kenar
• cotθ = komşu dik kenar / karşı dik kenar
• secθ = hipotenüs / komşu dik kenar
• cscθ = hipotenüs / karşı dik kenar

Temel Trigonometrik Özdeşlikler

Trigonometrik fonksiyonlar arasında temel ilişkiler şunlardır:

• Pisagor Özdeşliği: sin²θ + cos²θ = 1
• 1 + tan²θ = sec²θ
• 1 + cot²θ = csc²θ

Karşılıklı İlişkiler

Trigonometrik fonksiyonlar arasındaki karşılıklı ilişkiler:

• sinθ = 1/cscθ veya cscθ = 1/sinθ
• cosθ = 1/secθ veya secθ = 1/cosθ
• tanθ = 1/cotθ veya cotθ = 1/tanθ

Bölüm İlişkileri

Temel trigonometrik fonksiyonlar arasındaki bölüm ilişkileri:

• tanθ = sinθ/cosθ
• cotθ = cosθ/sinθ

Tümler Açı İlişkileri

Tümler açılar (toplamları 90° olan açılar) arasındaki ilişkiler:

• sin(90° - θ) = cosθ
• cos(90° - θ) = sinθ
• tan(90° - θ) = cotθ
• cot(90° - θ) = tanθ

Bütünler Açı İlişkileri

Bütünler açılar (toplamları 180° olan açılar) arasındaki ilişkiler:

• sin(180° - θ) = sinθ
• cos(180° - θ) = -cosθ
• tan(180° - θ) = -tanθ

Toplam ve Fark Formülleri

İki açının toplamı ve farkı için trigonometrik fonksiyonlar:

• sin(A + B) = sinA·cosB + cosA·sinB
• sin(A - B) = sinA·cosB - cosA·sinB
• cos(A + B) = cosA·cosB - sinA·sinB
• cos(A - B) = cosA·cosB + sinA·sinB
• tan(A + B) = (tanA + tanB)/(1 - tanA·tanB)
• tan(A - B) = (tanA - tanB)/(1 + tanA·tanB)

Çift ve Yarım Açı Formülleri

Çift ve yarım açılar için trigonometrik ifadeler:

• sin2θ = 2sinθ·cosθ
• cos2θ = cos²θ - sin²θ = 2cos²θ - 1 = 1 - 2sin²θ
• tan2θ = 2tanθ/(1 - tan²θ)
• sin(θ/2) = ±√[(1 - cosθ)/2]
• cos(θ/2) = ±√[(1 + cosθ)/2]
• tan(θ/2) = ±√[(1 - cosθ)/(1 + cosθ)] = sinθ/(1 + cosθ) = (1 - cosθ)/sinθ

Trigonometrik Fonksiyonların Periyodik Özellikleri

Trigonometrik fonksiyonlar periyodiktir ve belirli aralıklarla aynı değerleri alırlar:

• sin(θ + 2πk) = sinθ (periyot: 2π)
• cos(θ + 2πk) = cosθ (periyot: 2π)
• tan(θ + πk) = tanθ (periyot: π)
• cot(θ + πk) = cotθ (periyot: π)

Trigonometrik Fonksiyonların Grafik Özellikleri

Trigonometrik fonksiyonların grafikleri arasında da ilişkiler bulunur:

• sinüs ve kosinüs grafikleri birbirine göre π/2 kadar ötelenmiştir
• tanjant ve kotanjant grafikleri birbirine göre π/2 kadar ötelenmiştir
• sinüs grafiği orijine göre tektir (sin(-θ) = -sinθ)
• kosinüs grafiği y-eksenine göre çifttir (cos(-θ) = cosθ)

Bu trigonometrik ilişkiler, matematik problemlerini çözmek, fiziksel sistemleri modellemek ve mühendislik uygulamalarında temel oluşturmak için hayati öneme sahiptir.