Trigonometri 4 Trigonometrik Denklemler

Trigonometri 4

Bu makalede, trigonometrik denklemler ve bu denklemlerin çözümlerini ele alacağız.

Trigonometrik Denklemler

İçerisinde bilinmeyeni trigonometrik fonksiyonlar olan ve bu bilinmeyenin bazı değerleri için doğru kabul edilen eşitlikler, trigonometrik denklemler olarak tanımlanır. Trigonometrik denklemi sağlayan ifadeye denklemin kökü, köklerin bir araya gelerek oluşturduğu küme ise çözüm kümesi olarak adlandırılır. Çözüm kümesini bulabilmek amacıyla yapılan işlemler ise denklemi çözme olarak tanımlanır.

A. Sin x = b Denkleminin Çözümü

Sinüs değeri b olan reel sayıların birim çemberdeki görüntüleri Z ve Y noktaları ise;

K ∈ Z olmak üzere
Z noktasına b + k. 2π ve
Y noktasına π - b + k. 2π olur. Böylece sin x = b değerinin çözüm kümesi;
Ç = {x | x = θ + k. 2π ya da x = π - θ + k. 2π, k ∈ Z}

B. Cos x = b Denkleminin Çözümü

Kosinüs değeri b olan reel sayıların birim çemberdeki görüntüleri Z ve Y noktaları ise;

K ∈ Z olmak üzere
Z noktasına b + k. 2π ve
Y noktasına -b + k. 2π olur. Böylece cos x = b değerinin çözüm kümesi;
Ç = {x | x = θ + k. 2π ya da x = -θ + k. 2π, k ∈ Z}

C. Tan x = b Denkleminin Çözümü

Tanjant değeri b olan reel sayıların birim çemberdeki görüntüleri Z ve Y noktaları ise;

K ∈ Z olmak üzere
Z noktasına b + k. π ve
Y noktasına π + b + k. π olur.
Tanjant fonksiyonunun esas periyodu π olduğu için tan x = b değerinin çözüm kümesi;
Ç = {x | x = θ + k. π, k ∈ Z}

D. Cot x = b Denkleminin Çözümü

Cotanjant değeri b olan reel sayıların birim çemberdeki görüntüleri Z ve Y noktaları ise;

K ∈ Z olmak üzere
Z noktasına b + k. π ve
Y noktasına π + b + k. π olur.
Cotanjant fonksiyonunun esas periyodu π olduğu için cot x = b değerinin çözüm kümesi;
Ç = {x | x = θ + k. π, k ∈ Z}

Not: Trigonometrik bir denklemin herhangi bir kökü istenildiğinde, denklemin çözüm kümesi bulunur. Ardından k yerine -1, 0, 1 gibi tam sayılar yazılır ve denklem kökleri bulunur. Bu köklerden verilen aralıkların içinde olanlar alınır.

Çözüm Kümesinin Kullanımı

Trigonometrik denklemlerin çözümünde, çözüm kümesinin doğru belirlenmesi çok önemlidir. Çözüm kümesi belirlenirken dikkat edilmesi gereken hususlar şunlardır:

Fonksiyonun periyodu dikkate alınmalıdır.
Çözümler belirlenen aralık içinde olmalıdır.
Özel açılar ve simetrik özellikler kullanılabilir.

Bu konular üzerinde yapılan çalışmalar, trigonometrik fonksiyonların daha iyi anlaşılmasını sağlar ve matematiksel problemlerin çözümünü kolaylaştırır.