Trigonometrik fonksiyonların integrali ile ilgili örnek sorular nelerdir?

Trigonometrik Fonksiyonların İntegrali Örnek Soruları

Trigonometrik fonksiyonların integrali, matematikte önemli bir konudur ve çeşitli teknikler gerektirir. İşte farklı zorluk seviyelerinde örnek sorular ve çözümleri:

1. Temel Trigonometrik İntegraller

Çözüm: ∫sin(x) dx = -cos(x) + C

Çözüm: ∫cos(x) dx = sin(x) + C

Çözüm: ∫sec²(x) dx = tan(x) + C

2. Trigonometrik Özdeşlik Kullanılan İntegraller

Çözüm: sin²(x) = (1-cos(2x))/2 özdeşliğini kullanarak:

∫sin²(x) dx = ∫(1-cos(2x))/2 dx = (1/2)∫(1-cos(2x)) dx

= (1/2) (x - (1/2) sin(2x)) + C = x/2 - (1/4) sin(2x) + C

Çözüm: cos³(x) = cos²(x) cos(x) = (1-sin²(x)) cos(x)

u = sin(x) değişken değiştirmesi yapalım, du = cos(x) dx

∫cos³(x) dx = ∫(1-u²) du = u - u³/3 + C = sin(x) - sin³(x)/3 + C

3. Trigonometrik Yerine Koyma Yöntemi

Çözüm: x = sin(t) yerine koyması yapalım, dx = cos(t) dt

∫dx/√(1-x²) = ∫cos(t) dt/√(1-sin²(t)) = ∫cos(t) dt/cos(t) = ∫dt = t + C

x = sin(t) olduğundan, t = arcsin(x)

Sonuç: arcsin(x) + C

Çözüm: x = 2tan(t) yerine koyması yapalım, dx = 2sec²(t) dt

∫dx/(x²+4) = ∫2sec²(t) dt/(4tan²(t)+4) = ∫2sec²(t) dt/[4(tan²(t)+1)]

= ∫2sec²(t) dt/(4sec²(t)) = (1/2)∫dt = t/2 + C

x = 2tan(t) olduğundan, t = arctan(x/2)

Sonuç: (1/2) arctan(x/2) + C

4. Karmaşık Trigonometrik İntegraller

Çözüm: Trigonometrik çarpım formülü kullanarak:

sin(A) cos(B) = [sin(A+B) + sin(A-B)]/2

∫sin(3x) cos(2x) dx = (1/2)∫[sin(5x) + sin(x)] dx

= (1/2)[-cos(5x)/5 - cos(x)] + C = -cos(5x)/10 - cos(x)/2 + C

Çözüm: tan³(x) sec(x) = tan²(x) tan(x) sec(x) = (sec²(x)-1) tan(x) sec(x)

u = sec(x) değişken değiştirmesi yapalım, du = sec(x) tan(x) dx

∫tan³(x) sec(x) dx = ∫(u²-1) du = u³/3 - u + C = sec³(x)/3 - sec(x) + C

5. Kısmi İntegrasyon Yöntemi

Çözüm: Kısmi integrasyon uygulayalım:

u = x, dv = sin(x) dx

du = dx, v = -cos(x)

∫x·sin(x) dx = -x·cos(x) - ∫-cos(x) dx = -x·cos(x) + ∫cos(x) dx

= -x·cos(x) + sin(x) + C

Bu örnekler, trigonometrik integrallerin çeşitli tekniklerle nasıl çözüleceğini göstermektedir. Pratik yaparak bu tekniklerde ustalaşabilirsiniz.